Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów
Dane są ciągi (a n ) i ( b n ) , określone dla n ≥ 1.
| Jeżeli | lim | a n = a oraz | lim | b n = b, to |
| n -> ∞ | n -> ∞ |
| lim (a n + b n ) = a + b | lim (a n - b n ) = a - b | lim (a n * b n ) = a * b |
| n -> ∞ | n -> ∞ | n -> ∞ |
Jeżeli ponadto b n ≠ 0 dla n ≥ 1 oraz b ≠ 0, to
| lim | a n | = | a |
| b n | b | ||
| n -> ∞ |
Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a n ), określony dla n ≥ 1, o ilorazie q.
Niech (S n ), oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu (a n ), to znaczy ciąg określony wzorem .
S n = a 1 + a 2 + ... + a n dla n ≥ 1. Jeżeli |x| < 1, to ciąg ( S n ma granicę)
| S = | lim | S n = | a 1 |
| n -> ∞ | 1 - q |
Tę granicę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu (a n ).